【結論】 即座に出て行く義務はありませんが、早めの解決が得策です。
【解説】 「養育費代わり」などの口約束があっても、元夫がローンの支払いを止めてしまえば、家は競売にかかり、結局住めなくなってしまいます。相手が「名義を抜きたい(=新しい生活のために必死)」と考えている今は、逆に言えば「協力が得られやすい」タイミングです。この機を逃さず、ご自身の名義に一本化することをお勧めします。
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「来年の春までに名義を変えないなら、家を売る」。元夫からの最後通告にパニックになった女性が、私たちのサポートで逆に「諸費用」を元夫に負担させ、賢くマイホームを手に入れた実話はこちらです。